Abschnitt 1.1 Wieviele Teilungen gibt es?
Eine interessante Frage ist, ob es wahrscheinlich ist, ein Board, das man in der Vergangenheit gepspielt hat, irgendwann mit identischen Teilungen für alle vier Hände wieder bekommt.
Beurteilen lässt sich dies, indem man überlegt, wieviele Möglichkeiten es gibt, ein komplettes Board aus den 52 zur Verfügung stehenden Karten zu teilen.
Die Antwort dazu können wir mit Hilfe der Kombinatorik erhalten: Wir haben eine Menge von 52 unterschiedlichen Objekten (die 52 Karten eines vollständigen Kartenspiels), aus denen wir nacheinander 13 Karten ziehen und jeweils auf die vier Hände verteilen. Für das Ziehen von 13 Karten aus einem Stapel von \(n\) Karten sagt die Kombinatorik, dass es dafür
\begin{equation*}
P(n) = \binom{n}{13}
\end{equation*}
Möglichkeiten gibt. \(n\) verändert sich entsprechend des Teilungsprozesses: für die erste Hand stehen 52 Karten zur Verfügung, für die zweite Hand nur noch 39 und für die dritte Hand entsprechend 26 Karten. Die vierte Hand ergibt sich dann automatisch aus den verbleibenden 13 Karten. Die Anzahl der Möglichkeiten für alle vier Hände werden dann miteinander multipliziert, um die Gesamtzahl der Teilungsmöglichkeiten zu erhalten.
Es gilt also für die erste, zweite, dritte und vierte Hand:
\begin{align*}
N_1 & = \binom{52}{13} = \frac{52!}{13!\cdot 39!} = 635.013.559.600\\
N_2 & = \binom{39}{13} = \frac{39!}{13!\cdot 26!} = 8.122.425.444\\
N_3 & = \binom{26}{13} = \frac{26!}{13!\cdot 13!} = 10.400.600\\
N_4 & = 1
\end{align*}
Insgesamt gibt es somit
\begin{align*}
N & = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 \cdot N_4 = 53.644.737.765.488.792.839.237.440.000
\end{align*}
unterschiedliche spielbare Boards. Die Wahrscheinlichkeit, dasselbe Board ein zweites Mal zu erhalten, ergibt sich aus dem Kehrwert von \(N\) zu:
\begin{equation*}
\frac{1}{N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 \cdot N_4} = 0,0000000000000000000000000000186411573931363
\end{equation*}
Anschaulich betrachtet bedeutet dies folgendes: Angenommen, ein Computer spielt jede Millisekunde 1 Board, dann dauert es ca. 1 Trillion Jahre, bis man erwarten kann, ein schon mal gespieltes Board erneut zu bekommen.
\(N\) ist eine derart große Zahl, dass das menschliche Gehirn nicht in der Lage ist, sich davon eine Vorstellung zu machen. Um ein Gefühl für die Größe zu bekommen, habe ich mir die folgenden Visualisierungen ausgedacht:
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Wir stellen uns vor, dass wir für jedes mögliches Bridgeboard auf einem Papierstreifen einen Strich von 1 mm Stärke mit einem Abstand von 1 mm auf einen Papierstreifen zeichnen. Nun schauen wir uns an, wie lang dieser Papierstreifens wohl werden wird. Da \(N\) 28 Stellen hat, probieren wir es mit einem Lichtjahr. Ein Lichtjahr hat eine Länge von\begin{equation*} 1 \text{ Lichtjahr} = 300.000.000.000 \text{ mm/s} \cdot 60\cdot 60\cdot 24\cdot 365,24 \text{ s} = 9,47 \cdot 10^{18} \text{ mm}\text{.} \end{equation*}Das sind "nur" 18 Stellen, damit wird der Papierstreifen wirklich lang, nämlich ca. 11 Milliarden Lichtjahre.
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Man legt für jede mögliche Bridgehand ein Sandkorn, ca. 0,1 g, auf einen Haufen. Womit kann die Größe dieses Sandhaufens wohl verglichen werden? Mit obiger Vorgabe hat der entstehende Sandhaufen eine Masse von ca. \(5,3 \cdot 10^{24}\) kg. Vergleichbar damit ist der Planet Erde: er hat eine Masse von ca. \(5,9 \cdot 10^{24}\) kg. Der Sandhaufen nimmt also tatsächlich die Größe der Erde an!
